В курсе математического анализа мы изучали тригонометрические ряды Фурье. Далее, в курсе функционального анализа, ряды Фурье изучаются в главе «Гильбертовы пространства».
Рассматриваем пространство (пространство функций отвечающих условию , весовая функция, ).
Так как частичные суммы рядов Фурье дают наименьше отклонение от изучаемой функции, то такой метод приближения функций получил наиболее сильное развитие.
В этом пространстве определяется ортонормированная система, по которой для изучаемой функции строится ряд Фурье.
В данной работе рассматриваются полиномы Лежандра, как примеры ортогональных систем в пространстве .
Актуальность. В рамках традиционных курсов математического и функционального анализа, ряды Фурье по ортогональным системам изучаются недостаточно подробно. Это можно объяснить трудоемкостью получения выражений для коэффициентов Фурье. Сейчас применяя встроенные функции в распространенных математических пакетах (Mathcad, Maple и т.д.), можно получать лишь численные (приближенные) значения коэффициентов Фурье, графики частных сумм Фурье. Что является не достаточным для получения аналитических выражений.
Цель работы.
Реализовать в пакете Mathcad альтернативные возможности для получения ортогональных систем, с помощью которых можно получать аналитические выражения;
Применяя полученные выражения для Mathcad, более подробно изучить ортогональные системы (проверить известные результаты, и по возможности, получить новые или, не слишком распространенные свойства ортогональных многочленов).
Дипломная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приводятся необходимые теоретические сведения.
Во второй главе вводится документ Mathcad реализующий явные выражения для ортогональных систем Лежандра. Так же в этой главе показано применение полученных результатов для разложения функций в ряды Фурье.
В третьей главе приведено доказательство одного свойства многочленов Лежандра.