Собственные интегралы зависящие от параметра

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

§1. Определение интегралов, зависящих от параметров

§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла

§3. О непрерывности интеграла как функции параметра

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла

§5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла

§6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра.

Глава 2.

Практическая часть к теме: Собственные интегралы зависящие от параметра.

Глава 2. Специальные функции, заданные определенными интегралами, зависящими от параметра

§1 Полные эллиптические интегралы

§2 Интеграл Дюамеля

2.1 Формула Дюамеля

Теорема 1. Пусть выполняется условия:

3.2 Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример 1.

§1. Определение интегралов, зависящих от параметров

Пусть функция f(x,y) определенна в прямоугольнике ) =

Пусть при каждом закрепленном y из [c , d ] существует . Ясно, что

каждому значению y из [c , d ] будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра) y, определенную в промежутке [c , d ].

Введем обозначение

y ∈[c , d ]. (1)

Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции

f ( x, y) , получить информацию о свойствах функции I(y) . Эти свойства, как

будет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности при вычислении интегралов.

Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка [a, b] существует Тогда этот интеграл будет представлять собой функцию переменной (параметра) x , определенную в промежутке [a, b]. Обозначим ее через (x), так что

(x)= x (